Before going to sleep, I decided to open a deck of cards with math puzzles that I keep in the living room. Here are two of the puzzles that will have to wait until tomorrow when my brain is recovered from 13 hours of work:
What number should replace the question mark?
a.6, 8, 4, 8, 7, 9, 6, ?b.
13, 5, 14, 19, ?
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Last week I posted a puzzle, and then a variation on it, trying to set the context for a short post I wanted to write about a curious property from number theory. I waited for a few days to allow readers to post their solutions, and now it’s time to share what I originally wanted to write about. It’s not a a very sophisticated concept, but I find it interesting and attractive.
The original puzzle asked for a simple method to determine if a large number (334,912,740,121,562) is a perfect square (). All the answers that were posted on the comments of that post pointed out that the last digit of
was always going to be the same as the square of the last digit of
. Following that logic, it is easy to show that the last digit of
has to be 0, 1, 4, 9, 6 or 5, and since the number in question does not end in any of these numbers, then it is not a perfect square.
The variation of the puzzle asked the same question about another number (334,912,740,121,560), this time ending in zero. However, the same reasoning does not apply here given that ending in 0, 1, 4, 5, 6 or 9 is only a necessary condition and does not suffice to establish whether the number is indeed a perfect square. Since this particular number ends in zero, there had to be another way to check. What now?
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Last revised on 2011/04/02
The puzzle I shared on my last post was very simple, and although it hinted at the topic that I originally wanted to write about I think I can do better by slightly modifying it.
Since the last post was in Spanish I’ll re-share the full text of the puzzle again, this time in English, and highlight the single modification in red, bold font:
One of the mechanics in the garage has a son in high school who is a very bright student and very good in mathematics and computer programming. He stopped by the garage one day after school and his father asked what he was doing in school and his son told him about his latest assignment.
He is supposed to write a computer program to handle very large numbers that could not be handled on a typical hand-held calculator. The teacher told the students to use that program to determine if a certain very large number is a perfect square. (What is a perfect square? A perfect square is a whole number or an integer that is arrived at by squaring another whole number. For example, 900 is a perfect square of 30; 196 is a perfect square of 14. 625 is the perfect square of 25. So there are no fractions, no decimals, no nothing. Just whole numbers allowed.)
Each student is assigned a particular number. This kid’s number is 334,912,740,121,560. And the teacher wants to know if this is a perfect square.
His father says, “That’s a big number!”
And then out of the inky shadows, who appears but Crusty! And he says, “Oh, your teacher gave you an easy number.”
“She did?” said the kid.
“Oh yeah. I can give you the answer right now.”
The question is, what did Crusty know?
Again, the original puzzle comes from NPR’s Car Talk.
Update #1: Reader Carlos Encarnación writes with an interesting answer: “Crusty knows that 334,912,740,121,560 is divisible by 3, since the sum of all its digits equals 48. On the other hand, he also notes that it isn’t divisible by 9. Therefore 334,912,740,121,560 is not a perfect square. In general, if p is prime and N is divisible by p, but N is not divisible by p^2, then N is not a perfect square. The proof is trivial, it follows immediately from the fundamental theorem of arithmetic and the definition of perfect square.”
Update #2: Readers numerate and Caphi point out that one easy way to check is to notice that the number is divisible by 10 but not by 100 (i.e., it ends with only one zero). This also follows from the answer on Update #1.
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Last revised on 2011/04/16
Hace mucho tiempo que no comparto acertijos. Sucede que hoy, mientras buscaba información sobre uno de los temas sobre los que quiero escribir en el blog, encontré un acertijo que salió en el programa “Car Talk” de NPR.
Aquí está el acertijo, traducido al español:
Uno de los mecánicos en el taller tiene un hijo cursando el bachillerato, muy inteligente y bueno con las matemáticas y la programación. Un día después de la escuela el hijo se detuvo en el taller y el padre le preguntó qué hacía en la escuela a lo cuál él respondió contándole sobre la última tarea que le habían asignado.
Tenía que escribir un programa de computadora para manejar números bien grandes que una calculadora de mano no podría manejar. El profesor le dijo a los estudiantes que usaran ese programa para determinar si un cierto número grande era un cuadrado perfecto. (¿Qué es un cuadrado perfecto? Es un número entero que resulta de elevar otro número entero al cuadrado. Por ejemplo, 900 es el cuadrado perfecto de 30; 196 es el cuadrado perfecto de 14; 625 es el cuadrado perfecto de 25, etc. No hay fracciones, decimlaes ni nada de eso, sólo números enteros.)
Cada estudiante fue asignado un número distinto. El del hijo del mecánico era 334,912,740,121,562. El profesor quería que averiguara si este número era un cuadrado perfecto.
El padre dijo: “¡ése es un número grande!”.
Y entonces, desde las sombras aparece un señor que dice “Oh, tu profesor te dio un número fácil”.
“¿Sí?” preguntó el niño.
“Así es. Te puedo dar la respuesta ahora mismo.”
La pregunta es: ¿cómo es posible que este señor supiera la respuesta?
Por casualidad de la vida, este acertijo salió un día como ayer (8 de Marzo) hace 3 años. También por casualidad (al parecer), esos números de la fecha (8 y 3) son parte de la solución.
La imágen es de bludgeoner86.
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Last revised on 2011/03/17
Encontré este juego esta mañana. El punto es hacer que los sapos de distintos colores intercambien puestos. Simple pero divertido:
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Hace mucho tiempo que no comparto un acertijo por aquí. Hoy encontré uno sencillo, que fue publicado el año pasado, y quise ponerlo aquí:
Conozco el año en el que yo, mi madre y mi hermana nacimos, y sé que esos tres números son primos. También sé que cuando mi madre celebre su cumpleaños este año, la suma de nuestras edades será 196 años. Además sé que mi hermana es dos años mayor que yo.
La pregunta es: ¿cuántos años tiene mi mamá?
Sugerencia para facilitar la solución: el acertijo fue publicado el año pasado.
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Last revised on 2010/02/02
Encontré este juego/acertijo, muy parecido al famoso “Missionaries and Cannibals Problem“, algo así como “Problema de los Misioneros y Caníbales” en español.
En este caso se trata de un policía, una reclusa y una familia compuesta de: Papá, Mamá, dos hijas, dos hijos. Todos quieren cruzar el río, pero sólo hay una balsa con capacidad para dos personas.
Las reglas son las siguientes:
Para jugar, haga clic aquí.
Esta versión es más complicada que el problema original, pero la versión interactiva hace que el problema sea más entretenido.
¡Disfruten!
Enlaces:
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Last revised on 2009/12/22